一、关于数学的定义

　　经典定义：数学是研究数量关系和空间形式的科学

　　——恩格斯

　　课标定义：数学是研究空间形式和数量关系的科学；是研究客观世界的模式和秩序的科学；是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。

　　从另一个角度看数学：

　　(1) 数学是一种语言，是一切科学的共同语言；

　　(2) 数学是一把钥匙，是一把打开科学大门的钥匙；

　　(3) 数学是一种工具，是一种思维的工具；

　　(4) 数学是一种智慧，一种反映人的能力和发展水平的智慧；

　　(5) 数学是一门艺术，是一门创造性艺术；

　　(6) 数学是一种文化，是人类文化的一部分。

　　二、中学数学要求的核心素养

　　数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现，它是在数学学习的过程中逐步形成的。

　　数学核心素养包括：

　　1.数学抽象

　　数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或者数学术语予以表征。

　　数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学的产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统。

　　2.逻辑推理

　　逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从小范围成立的命题推断更大范围内成立的命题的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从大范围成立的命题推断小范围内也成立的推理，推理形式主要有演绎推理。

　　逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证，逻辑推理是数学交流的基本品质，使数学交流具有逻辑性。

　　通过逻辑推理核心素养的培养，学生能够发现和提出命题，掌握推理的基本形式，表述论证的过程，理解数学知识之间的联系；能够理解一般结论的来龙去脉、形成举一反三的能力；能够形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维习惯和交流能力。

　　3.数学建模

　　数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程，具体表现为：在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题、表达问题、构建模型、求解结论、验证结果、改进模型，最终得到符合实际的结果。

　　数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式，数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，是推动数学发展的外部驱动力。

　　通过数学建模核心素养的培养，学生能够掌握数学建模的过程，积累用数学的语言表达实际问题的经验，提升应用能力和创新意识。

　　4.数学运算

　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题。主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果。

　　运算是构成数学抽象结构的基本要素，是演绎推理的重要形式，是得到数学结果的重要手段，数学运算是计算机解决问题的基础。

　　通过数学运算核心素养的培养，学生能够提高解决实际问题和数学问题的能力，提升逻辑推理的能力，形成程序化思考问题的习惯，养成实事求是、一丝不苟的科学精神。

　　5.直观想象

　　直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题。主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

　　直观想象是发现和提出数学命题、分析和理解数学命题、探索和形成论证思路的重要手段，是构建抽象结构和进行逻辑推理的思维基础，是培养创新思维的基本要素。

　　通过直观想象核心素养的培养，学生能够养成运用图形和空间想象思考问题的习惯，提升数形结合的能力，建立良好的数学直觉，理解事物本质和发展规律。

　　6.数据分析

　　数据分析是指从数据中获得有用信息，形成知识的过程，主要包括：收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据蕴含的结论。

　　数据分析是大数据时代数学应用的主要方法，已经深入到现代社会生活和科学研究的各个方面，数据分析是现代公民应当具备的基本素质。

　　通过数据分析核心素养的培养，学生能够养成基于数据思考问题的习惯，提升基于数据表达现实问题的能力，积累在错综复杂的情境中探索事物本质、关联和规律的经验。

　　三、学好高中数学要注意培养的几个能力

　　1.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程，抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论，抽象概括能力就是从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或作出新的判断。

　　2.运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。

　　运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。

　　3.空间想像能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想像出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。空间想像能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力。主要表现为识图、画图和对图形的想像能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言，以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换。对图形的想像主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想像能力高层次的标志，逻辑推理能力。

　　4.推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成，论证是由已有的正确的前提到被论证的结论正确的一连串的推理过程。推理既包括演绎推理，也包括合情推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法，一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明。

　　中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题真实性初步的推理能力。

　　例 操场有100名学生排成10×10的方阵，共有10行10列。

　　A. 在每一行中选出一个最高的，共有10个“高个子”，其中最矮的记为A；

　　B. 在每一列中选出一个最矮的，共是10个“矮个子”，其中最高的记为B；

　　问：A与B孰高?

　　5.数据处理能力：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断，数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题。

　　6.数形结合的能力：能借助图形，将抽象的问题应用图形形象的表示出来，使得问题更加明朗，清晰，便于更快的抓住问题的实质，加快解决问题的速度。

　　例 炎炎夏日，虔诚的老太太去山上进香，山高路远，老太太一路走走停停，自上午6时从家出发，下午4时方到庙中，在庙中住了一晚，第二天自原路返回，仍是上午6时从庙中出发，下午4时方回到家中，问：这个老太太可不可能在同一时间经过同一地点?

　　(注：同一时间指的相对于一天内的时间，如昨天的上午9点与今天的上午9点是作为同一时间。)

　　7.应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确的表达和说明，主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数据关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。

　　8.创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题，创新意识是理性思维的高层次表现，对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强。